Question

如图，在三棱锥中，，，且，.

（1）证明:平面平面；

（2）若点为的中点，求二面角的大小.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先利用勾股定理证明，从而证得平面，进一步证明平面，再利用面面垂直的判定定理，可证得面面垂直；

（2）由（1）有平面，，故以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点且与平面垂直的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，求出法向量夹角的余弦值，即可得答案.

（1）因为，，，所以.

又，所以，即.

又因为，且，平面，平面，

所以平面.

因为平面，所以.

又因为，，平面，平面，

所以平面，平面，

所以平面平面.

（2）由（1）有平面，，故以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点且与平面垂直的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，.

所以，，.

设平面的法向量为，则，即

令，则.

设平面的法向量为，则，即

令，则.

所以.

由图可知，二面角是钝角，所以二面角的大小为.