Question

如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求证：平面PAC；

（2）若，求二面角的平面角的余弦值.

Answer

（1）证明见详解；

（2）

【解析】

（1）先证明，，再证明平面PAC，即得证；

（2）分别求平面PAC，PBC的法向量，再利用公式求解二面角的平面角的余弦值.

（1） 因为底面ABCD是菱形，所以

平面ABCD，平面ABCD

又AC，PA是平面PAC内的相交直线

平面PAC.

（2） 设，因为，所以

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则

，

，

设平面PDB的法向量为：，则

令

平面PAC的法向量

由图得：二面角为锐角，因此：

.