Question

已知直线与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点.

（1）求与直线平行，且与抛物线相切的切线方程；

（2）点M在抛物线的弧AOB上移动，是否存在点M使得的面积最大？如果存在，求出点M的坐标及面积的最大值；如果不存在，请说明理由.

Answer

(1) ;

(2) ,面积的最大值为.

【解析】

（1） 设直线方程为：，与抛物线相切直线与抛物线联立即得解；

（2）联立与抛物线，求解A,B的坐标，计算的最大值，即得解.

（1） 设与直线平行的直线为：，与抛物线相切

直线与抛物线联立得到：

故直线方程为：

（2）联立与抛物线可得：

因此：

点M在抛物线的弧AOB上移动，因此：，不妨设

，要使最大，即最大

当且仅当时，面积的最大值为，此时.