Question

椭圆： 的离心率为，短轴端点与两焦点围成的三角形面积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与椭圆交于两点，且过点，为坐标原点，当△为直角三角形，求直线的斜率.

Answer

(1)；(2)和.

【解析】

(1)利用题中所给面积及离心率列出方程组求解a,b,c，即可求得椭圆的标准方程；(2)根据题意设出直线方程并与椭圆方程联立，得到关于x的二次方程，由韦达定理表示出,①当为直角时，由列出方程即可求得k；②当或为直角时，不妨设为直角，由及列出方程组求点A的坐标，从而求出直线的斜率k.

(1)根据题意可得，

所以椭圆方程为；

(2)根据题意，过点满足题意得直线斜率存在，设，

联立，消去y得：，

，令，解得，

，

设A、B两点的坐标分别为，

①当为直角时，，即，

所以，

则，解得；

②当或为直角时，不妨设为直角，

此时，，则，①，

又②，将①代入②可得，

解得或(舍去)，

将代入①，得，所以，

经检验，所求k值均与题意相符，综上，k的值为和.