Question

如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD是矩形，平面DCC₁D₁⊥平面ABCD.AD=3，CD=DD₁=5，∠D₁DC=120°，M，N分别是线段AD₁，BD的中点.

（1）求证：MN//平面DCC₁D₁；

（2）求证：MN⊥平面ADC₁；

（3）求三棱锥D₁﹣ADC₁的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）连结、，则在上，推导出，由此能证明平面．

（2）连结，推导出，，从而平面，进而，平面，再则，能证明平面．

（3）三棱锥的体积为，由此能求出结果．

（1）证明：连结、，则在上，

已知，分别是线段，的中点，所以，

且平面，平面，

所以平面．

（2）证明：连结，

因为在四棱柱中，底面四边形是矩形，，

则，，

又因为平面平面．平面平面．

所以平面，而平面，得，

，因此平面，

又因为，所以平面．

（3）因为平面，则点 到平面的距离为，

已知，，有，

则三棱锥的体积为：

．