Question

已知A，B，C是抛物线W：y²=4x上的三个点，D是x轴上一点.

（1）当点B是W的顶点，且四边形ABCD为正方形时，求此正方形的面积；

（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形ABCD是否可能为正方形，并说明理由.

Answer

（1）32；（2）不可能，理由见解析.

【解析】

（1）根据正方形的性质知的坐标为，代入抛物线方程，解出，即可得到正方形的面积；

（2）先假设四边形为正方形，设直线的方程为，曲直联立，得到韦达定理，并依次求得中点坐标、弦长以及点的坐标和弦长，再利用，得到与等量关系①，然后利用，得到与等量关系②，联立①②即可判定四边形是否可能为正方形．

（1）当点是的顶点时，设与相交于点，则，

假设点在轴上方，则的坐标为，

代入抛物线方程得，此时正方形的边长为，

所以正方形的面积为．

（2）四边形不可能为正方形．

当点不是的顶点时，直线的斜率一定存在，设其方程为，

、坐标分别为，，，，

联立，则，

所以，，

因此，的中点的坐标为，

，

若四边形为正方形，则的中点也是，，

因为点在轴上，所以，所以，

代入，得，即，

所以，

化简得，①

，

因为，所以，

化简得，②

由①②得，，无解，

故四边形不可能为正方形．