Question

已知数列{a_n}满足：，且a_n+1（n=1，2…）集合M={a_n|}中的最小元素记为m.

（1）若a₁=20，写出m和a₁₀的值：

（2）若m为偶数，证明：集合M的所有元素都是偶数；

（3）证明：当且仅当时，集合M是有限集.

Answer

（1）6，22；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用递推公式依次求出数列的前10项，推导出集合中的最小元素．．

（2）推导出，当时，或，由为偶数，得到为偶数，为偶数，由此能证明若为偶数，则集合的所有元素都是偶数．

（3）推导出，当时，．从而集合．由此能证明当且仅当时，集合是有限集．

因为数列满足：，且

集合中的最小元素记为．

所以，

，

，

，

，

，

，

，

，

所以集合中的最小元素．．

（2）证明：因为数列满足：，且，

集合中的最小元素为偶数．

所以，当时，或，

因为为偶数，为偶数，为偶数，

所以若为偶数，则集合的所有元素都是偶数．

（3）证明：因为数列满足：，且，

集合中的最小元素为偶数．当且仅当，

所以，当时，．

得集合．

所以，当且仅当时，集合是有限集．