Question

设和是双曲线上的两点，线段的中点为，直线不经过坐标原点．

（1）若直线和直线的斜率都存在且分别为和，求证：；

（2）若双曲线的焦点分别为、，点的坐标为，直线的斜率为，求由四点、、、所围成四边形的面积．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）法一：设不经过点的直线方程为，与双曲线方程联立，利用中点坐标表示，再求；法二：利用点差法表示；

（2）先由已知求得双曲线方程和直线的方程，由条件表示四边形的面积；令解，利用的中点是，直接求点的坐标，再表示四边形的面积.

（1）证明：法1：设不经过点的直线方程为，代入双曲线方程得：．

设坐标为，坐标为，中点坐标为，则，，

，，所以，，．

法2：设、，中点，则，且，

（1）﹣（2）得：．

因为，直线和直线的斜率都存在，所以，

等式两边同除以，得：，即．

（2）由已知得，求得双曲线方程为，直线斜率为，

直线方程为，代入双曲线方程可解得，中点坐标为．

面积．

另【解析】
线段中点在直线上．所以由中点，可得点的坐标为，代入双曲线方程可得，即，解得（），所以．面积．