Question

已知定点，动点在轴上运动，过点作直线交轴于点，延长至点，使．点的轨迹是曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）若，是曲线上的两个动点，满足，证明：直线过定点；

（3）若直线与曲线交于，两点，且，，求直线的斜率的取值范围．

Answer

(1) ；(2) 直线过定点；(3)

【解析】

(1)设出动点,则的坐标可表示出,利用,可求得的关系式,即的轨迹方程．

(2)设直线 ,联立直线与(1)中所得抛物线的方程,利用韦达定理表示,进而求得即可.

(3)设出直线的方程,A,B的坐标,根据推断出,把直线与抛物线方程联立消去求得的表达式,进而求得,利用弦长公式表示出,再根据的范围,求得的范围．

(1)设动点,则,,

∵,即,化简得.

(2)设直线 ,联立.

设,则,.

又,故由题有,即.

由题意可知,故.故直线 ,恒过定点.

(3)设直线方程为,与抛物线交于点,

则由,得,即,

∴,解得,

由,

∴,

当恒成立,

.

由题意,,

可得,

即,

因为,故

解得,

∴或.

即所求的取值范围是.