Question

教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为．我们将其结论推广：椭圆上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用．已知，直线与椭圆有且只有一个公共点.

（1）求的值；

（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点．当变化时，求面积的最大值；

（3）在（2）的条件下，经过点作直线与该椭圆交于、两点，在线段上存在点，使成立，试问：点是否在直线上，请说明理由.

Answer

（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）将直线y＝x代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线,,，再将M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点在直线上，因为

设、、，且，于是，向量坐标化，得、、、，将代入椭圆方程，结合、在椭圆上，整理化简得，即在直线上.

（1）联立，整理得

依题意，即

（2）设、,于是直线、的方程分别为、

将代入、的方程得且

所以直线的方程为

联立

显然，由，是该方程的两个实根，有，

面积

即

当且仅当时，“=”成立，取得最大值

（3）点在直线上，因为

设、、，且

于是，即、、、

又，

，

，即在直线上.