Question

已知四边形是正方形，平面，平面，，为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接、、，推出为等腰三角形，，，从而四边形为平行四边形，进而，推导出，，由此能证明平面．

（2）取的中点，连接、，为的中位线，，由平面，由此平面，从而斜线在平面内的射影为，直线与平面所成角为，能求出直线与平面所成角的正切值．

【解析】
如图所示：连接、、

（1）证明：四边形是正方形，且

即为等腰三角形

又为棱的中点，得：

平面，平面，得：

又，则四边形为平行四边形

又正方形，

即为等腰三角形

又，，平面，平面

平面

（2）取的中点，连接、

点、分别为、的中点

为的中位线

又平面

平面

为斜线过点向平面的一条垂线，垂足为点，则斜线在平面内的射影为，直线与平面所成角为，设

由几何关系可得：，

在中得：.