Question

某厂生产产品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投人成本万元.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.

（1）写出年利润万元关于千件的函数关系式；

（2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？

Answer

（1）（2）100

【解析】

（1）由于每生产千件需另投人成本受产量的影响有变化，根据题意，所以分当时和当时，两种情况进行讨论，然后根据利润的定义写出解析式.

（2）根据（1）的利润函数为，当时，用二次函数法求最大值；当时，用基本不等式求最大值.最后两段中取最大的为利润函数的最大值，相应的x的取值即为此时最大利润时的产量.

（1）根据题意

当时， ，

当时， ，

综上： .

（2）由（1）知，

当时， ，

当 时，的最大值为950万.

当时， ，

当且仅当即时取等号，的最大值为1000万.

综上：当产量为100千件时，该厂当年的利润最大.