Question

如图，在四棱锥中，四边形为菱形，且是等边三角形，点是侧面内的一个动点，且满足，则点所形成的轨迹长度是_______.

Answer

【解析】

根据题意，Q点在一个过BD，且与直线AC垂直的平面内，且Q点的轨迹是该平面内与平面PBC的交线段的长度.据此进行求解.

根据题意，连接AC，BD，记其交点为O，取PC上一点为M，连接MB，MD，作图如下：

若满足题意，又，故平面DBQ，

则点Q只要在平面DBQ与平面PBC的交线上即可.

假设如图所示：平面DBM与平面DBQ是同一个平面，

则Q点的轨迹就是线段BM.

根据假设，此时直线平面DBM，则.

故三角形MOC为直角三角形.

因为三角形PAD是等边三角形，三角形BAD也是等边三角形，

故AD，又因为BC//AD，故BCPB，

故三角形PBC为直角三角形，故

故在三角形PAC中，

由余弦定理可得：

故在直角三角形MOC中，

在直角三角形PBC中，

=

在三角形BCM中：

故可得：.

故答案为.