Question

设是等差数列，，且，，成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）求的前项和的最小值；

（3）若是等差数列，与的公差不相等，且，问：和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可）

Answer

（1）；（2），或时，取得最小值；（3）和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.

【解析】

（1）根据等差数列的基本量和等比中项的性质，得到关于公差的方程，从而得到通项公式；

（2）根据（1）所得的通项，从而得到前项的和；

（3）设的通项，根据列出方程组，得到方程组无解，得到答案.

（1）设等差数列的公差为，.

因为，，成等比数列，

所以，

即有，

解得，

则.

（2）由（1）中等差数列的通项，

所以的前项和，

由于为自然数，可得或时，取得最小值.

（3）设和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项，

设为第项，和相同，则，

设

根据与的公差不相等，可知

由，得，即，

由和相同，得到

则，

即

整理得，

因为且，所以方程无解.

故和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.