Question

已知椭圆的两个焦点分别是，，且椭圆经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当取何值时，直线与椭圆有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？

Answer

（1）；（2）时，直线与椭圆有两个公共点；或时，直线与椭圆只有一个公共点；或时，直线与椭圆没有公共点.

【解析】

（1）根据椭圆的焦点，得到，将点代入椭圆方程，得到的方程，解出的值，从而得到答案；

（2）直线与椭圆联立，根据与的关系，得到关于的不等式，得到答案.

（1）设椭圆的标准方程为，

因为椭圆的焦点分别是，，

所以，

将点代入椭圆方程得，

根据，得到，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）直线与椭圆联立，

，得，

则，

①当，即，解得，

方程有两个不同的实数根，

即直线与椭圆有两个公共点；

②当，即，解得或，

方程有两个相同的实数根，

即直线与椭圆只有一个公共点；

③当，即，解得或，

方程没有实数根，

即直线与椭圆没有公共点；