Question

已知椭圆经过点，离心率为.过原点的直线与椭圆有两个不同的交点.

（1）求椭圆长半轴长；

（2）求最大值；

（3）若直线分别与轴交于点，求证：的面积与的面积的乘积为定值.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据椭圆过点得到的值，结合离心率得到的值，得到答案；

（2）根据椭圆的几何特点，得到与轴重合时，最大，从而得到答案；

（3）根据对称性设，，表示出直线、，得到、坐标，从而表示出的面积与的面积，得到面积的乘积为定值.

（1）因为椭圆过点，所以，

因为离心率为，所以，

而，所以，

所以求椭圆长半轴长为；

（2）由（1）可得椭圆的标准方程为，

过原点的直线与椭圆有两个不同的交点，

可知当为长轴时候最长，

此时.

（3）由对称性可知、两点关于原点对称，

所以设，则，

不妨假设，

则直线的方程为，

令，得到，

所以，

同理，

所以，

所以

而在椭圆上，所以，即，

所以.

所以的面积与的面积的乘积为定值.