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如图所示,将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若...

如图所示,将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为(    )

A.33 B.56 C.64 D.78

 

B 【解析】 记分隔边的条数为,首先将方格按照按图分三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,将方格的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为,行中方格出现的颜色数记为,列中方格出现的颜色个数记为,三种颜色分别记为,对于一种颜色,设为含有色方格的行数与列数之和,定义当行含有色方格时,,否则,类似的定义,计算得到,再证明,再证明对任意均有,最后求出分隔边条数的最小值. 记分隔边的条数为,首先将方格按照按图分三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边, 此时共有56条分隔边,即, 其次证明:, 将将方格的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为,行中方格出现的颜色数记为,列中方格出现的颜色个数记为,三种颜色分别记为,对于一种颜色,设为含有色方格的行数与列数之和,定义当行含有色方格时,,否则,类似的定义, 所以, 由于染色的格有个,设含有色方格的行有个,列有个,则色的方格一定再这个行和列的交叉方格中, 从而, 所以①, 由于在行中有种颜色的方格,于是至少有条分隔边, 类似的,在列中有种颜色的方格,于是至少有条分隔边, 则② ③ 下面分两种情形讨论, (1)有一行或一列所有方格同色, 不妨设有一行均为色,则方格的33列均含有的方格,又色的方格有363个,故至少有11行有色方格,于是④ 由①③④得 , (2)没有一行也没有一列的所有方格同色, 则对任意均有, 从而,由式②知: , 综上,分隔边条数的最小值为56. 故选:B.
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