Question

如图，多面体是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）沿平面切除一部分所得，其中平面为原正三棱柱的底面，，点D为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）设与交于点E，连接、，由题意可得四边形是正方形，且，再由点D为的中点，平行且等于，求得CD，同理求得，得，可得，由线面垂直的判定可得；
（2）取BC的中点O，连接AO，可得AO⊥BC，由正棱柱的性质可得AO⊥平面，以O为坐标原点，向量、、分别为x、y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBD与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的平面角的余弦值.

(1)设与交于点E，连接、.

∵多面体是正三棱柱沿平面切除部分所得，，

∴四边形是正方形，且.

∵点D为的中点，平行且等于，

∴.

同理，

∴.

∵E为的中点，

∴.

又∵，，

∴平面；

(2)取的中点O，连接.

∵为正三角形，.

由正棱柱的性质可得，平面平面，

且平面平面，

∴平面.

以点O为原点，向量、、分别为x、y，z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，

，，.

设平面的一个法向量为，

则，

令，得，，即.

由（1）可知，平面的一个法向量为.

，

又∵二面角的平面角为锐角，

∴二面角的平面角的余弦值为.