Question

已知椭圆C：（）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A、B两点，若直线、的斜率为、，当时，求此时“卫星圆”的个数.

Answer

(1)；(2)8个.

【解析】

(1)由条件可得，解出来即可；

(2) 设“卫星圆”的圆心为，由定义可得“卫星圆”的标准方程为，求其圆心到直线，直线的距离，整理可转化为、是方程的两个不相等的实数根，则，再加上，，解方程即可.

(1)∵椭圆C的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形，

∴由椭圆的定义和正方形的性质，可得，

解得.

又

∴椭圆C的标准方程为.

(2)设“卫星圆”的圆心为.

由“卫星圆”的定义，可得“卫星圆”的半径为.

∴“卫星圆”的标准方程为.

∵直线：与“卫星圆”相切，

则由点到直线的距离公式可，

化简得.

同理可得.

∴、是方程的两个不相等的实数根，

∴，由，得，

将代入得，.

又∵“卫星圆”的圆心在椭圆C上，

∴代入椭圆方程中，可得.

解得，

.

当时，；

当时，，

∴满足条件的点共8个，

∴这样“卫星圆”存在8个.