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已知首项为的数列各项均为正数,且,. (1)若数列的通项满足,且,求数列的前n项...

已知首项为的数列各项均为正数,且.

(1)若数列的通项满足,且,求数列的前n项和为

(2)若数列的通项满足,前n项和为,当数列是等差数列时,对任意的,均存在,使得成立,求满足条件的所有整数构成的集合.

 

(1);(2). 【解析】 (1)由条件可变形为,可得数列是以为首项,以2为公比的等比数列,进而可得,则,再利用错位相减法求和即可; (2)根据(1)求出,,,由数列是等差数列,列方程可得或,分和讨论,通过条件对任意的,均存在,使得成立,可得. (1)∵数列各项均为正数,且, ,即,即. ∴数列是以为首项,以2为公比的等比数列, , ∴数列的通项公式为. ∵,∴, ∴, , 两式相减,得, , ∴数列的前n项和; (2)∵数列的通项, ∴由(1)得,,∴,,. 又数列是等差数列,∴. ,即. 解得或. 又, ∴当时,,为等差数列, 对任意的,均存在,使得成立, , ,. 又为正整数,∴满足条件的所有整数的值构成的集合为 . 当时,,不是常数, ∴数列不是等差数列,舍去. 综上,满足条件的所有整数的值构成的集合为 .
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