高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干...

高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下.

(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；

(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为元，其中.

（i）求X的分布列：

（ii）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？

(1)；(2)（i）分布列见解析；（ii）能盈利. 【解析】（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球掉入第7层第6个空隙处的概率；（2）X的取值为1，2，3，4，5，6，7，由此能求出X的分布列，进而可求出的分布列和，从而能求出小明同学能盈利. (1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，则； (2)（i）由已知X的取值可为1，2，3，4，5，6，7. ；；；， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 P （ii）的可能取值为0，5，10，15，，，，， ∴. ∴小明同学能盈利.

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考点分析：

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已知首项为的数列各项均为正数，且，.