已知函数.
(1)解不等式;
(2)设函数的最小值为m,已知正实数a,b,且,证明:.
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若M,N分别为曲线和曲线上的动点,求的最大值.
已知函数.
(1)当且时,求函数的单调区间;
(2)当时,若函数的两个极值点分别为、,证明.
高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中,上面7层为高尔顿板,最下面一层为改造的高尔顿板,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过6次与小木块碰撞,最后掉入编号为1,2…,7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽,则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处,再以的概率向左滚下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处,再以的概率向右滚下.
(1)若进行一次高尔顿板试验,求小球落入第7层第6个空隙处的概率;
(2)小明同学在研究了高尔顿板后,利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动,8元可以玩一次高尔顿板游戏,小球掉入X号球槽得到的奖金为元,其中.
(i)求X的分布列:
(ii)高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小明同学能盈利吗?
已知首项为的数列各项均为正数,且,.
(1)若数列的通项满足,且,求数列的前n项和为;
(2)若数列的通项满足,前n项和为,当数列是等差数列时,对任意的,均存在,使得成立,求满足条件的所有整数构成的集合.
已知椭圆C:()的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)我们称圆心在椭圆上运动,半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线,分别交椭圆C于A、B两点,若直线、的斜率为、,当时,求此时“卫星圆”的个数.