Question

如图所示，将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为(    )

A.33 B.56 C.64 D.78

Answer

B

【解析】

记分隔边的条数为，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，将方格的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色数记为，列中方格出现的颜色个数记为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含有色方格的行数与列数之和，定义当行含有色方格时，，否则，类似的定义，计算得到，再证明，再证明对任意均有，最后求出分隔边条数的最小值.

记分隔边的条数为，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，

此时共有56条分隔边，即，

其次证明：，

将将方格的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色数记为，列中方格出现的颜色个数记为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含有色方格的行数与列数之和，定义当行含有色方格时，，否则，类似的定义，

所以，

由于染色的格有个，设含有色方格的行有个，列有个，则色的方格一定再这个行和列的交叉方格中，

从而，

所以①，

由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，

类似的，在列中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，

则②

③

下面分两种情形讨论，

(1)有一行或一列所有方格同色，

不妨设有一行均为色，则方格的33列均含有的方格，又色的方格有363个,故至少有11行有色方格，于是④

由①③④得

，

(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,

则对任意均有，

从而，由式②知：

，

综上，分隔边条数的最小值为56.

故选：B.