Question

定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于2，则称这个数列为“D数列”.

（1）若首项为1的等差数列的每一项均为正整数，且数列为“D数列”，其前n项和满足()，求数列的通项公式；

（2）已知等比数列的每一项均为正整数，且数列为“D数列”，，设()，试判断数列是否为“D数列”，并说明理由.

Answer

（1）（2）是，理由见解析

【解析】

(1) 设的公差为d,则，由每一项均为正整数，即 ，可求出.
(2).根据条件有，，，所以，在数列中，为最小项，由数列为“D数列”可知，只需，可求出，或，，然后再分别

判断是否恒成立.

（1）设等差数列的公差为d，则，由，得.

由题意得，对均成立，

当时，上式成立.当时，，

又，∴，∴

∴等差数列的通项公式为.

（2）设等比数列的公比为q，则，

∵数列的每一项均为正整数，且，

∴，且q为整数

∵.

∴在数列中，为最小项，由数列为“D数列”可知，只需.
即，又，即.

由数列的每一项均为正整数，可得，∴，或，.①
当，时，，则.

令()，

则

∴.

∴数列为递增数列，即.又.
∴对任意的都有.

∴数列是“D数列”. ②
当，时，，则.
令().

=
∴

∴数列为递增数列，即.又.
∴对任意的都有，∴数列是“D数列”.综上，数列是“D数列”