已知函数. （1）当且时，求函数的单调区间；（2）当时，若函数的两个极值点分别...

已知函数.

（1）当且时，求函数的单调区间；

（2）当时，若函数的两个极值点分别为、，证明.

（1）的单调递增区间为，；无单调递减区间；（2）证明见解析. 【解析】 (1)求得，分类讨论，即可求解的单调区间，得到答案； (2)根据是函数的两个零点，设是方程的两个实数解，再根据二次函数的性质函数在处取得极大值,在处取得极小值，进而得到，代入得，令，则，得到，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解． (1)由题意，当时，，， ①当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增； ②当时，记，则，所以当时，，∴单调递减，且；当时，，单调递增，且，所以当时，，函数单调递增. 综上所述，函数的单调递增区间为，；无单调递减区间. (2)由，，是函数的两个零点，是方程的两个实数解，由，且，得，则有，不妨设，又，即得，，，即得，从而得到，，且，由二次函数的图象及性质知函数在处取得极大值,在处取得极小值. ，（*）又为方程的根，，代人(*)式得，令，则，，设，，，单调递减，从而有，. ，即得证.

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考点分析：

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高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下.