在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
(2)若M，N分别为曲线和曲线上的动点，求
的最大值.
已知函数
.
（1）当
且
时，求函数
的单调区间；
（2）当
时，若函数
的两个极值点分别为
、
，证明
.
高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以
的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下.
(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；
(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为
元，其中
.
（i）求X的分布列：
（ii）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？
定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于2，则称这个数列为“D数列”.
（1）若首项为1的等差数列
的每一项均为正整数，且数列为“D数列”，其前n项和
满足
(
)，求数列的通项公式；
（2）已知等比数列的每一项均为正整数，且数列为“D数列”，
，设
()，试判断数列
是否为“D数列”，并说明理由.
已知椭圆
(
)的右焦点为F，左顶点为A，离心率
，且经过圆O:
的圆心.过点F作不与坐标轴重合的直线
和该椭圆交于M､N两点，且直线
､
分别与直线
交于P､Q两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明:
为直角三角形.
如图，多面体
是正三棱柱
沿平面
切除一部分所得，
，点D为
的中点.
（1）求证:
平面
；
（2）求点
到平面
的距离.
