已知动点满足，记M的轨迹为曲线C，直线l：（）交曲线C于P，Q两点，点P在第一象...

已知动点满足，记M的轨迹为曲线C，直线l：（）交曲线C于P，Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E，连接QE并延长交曲线C于点G.

（1）求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线；

（2）若，求的面积.

（3）求面积的最大值.

（1），轨迹是以、为焦点的椭圆（2）（3）【解析】 (1)根据，由两点间的距离公式可看出，其表示动点与两定点、的距离之和为，且，可知其符合椭圆的定义，把相关量代入椭圆标准方程，即可求解； (2)写出直线的方程与曲线的方程联立，便可解出点坐标，进而知道点的坐标，再求出直线的方程后，与曲线的方程联立，可解出点的坐标，再代公式，即可求出面积； (3)将直线的方程与曲线的方程联立，解出点坐标，进而得点的坐标，再求出直线的方程后，与曲线的方程联立，可得点坐标，再根据点坐标，得直线的斜率，可验证，得是直角三角形，代两点间的距离公式可求出，所以是一个关于直线的斜率的函数，由函数求最值的方法，即可求解. （1）由，可得点到点、的距离之和为4且，所以动点的轨迹是以、的椭圆，其中，，即，，所以曲线C的轨迹方程为，轨迹是以、的椭圆. （2）根据题意得，与联立，解得或所以P点坐标为，Q点坐标为因为轴，垂足为E，所以E点坐标为所以直线QE方程为与联立，可得，整理可得或所以G点坐标为（3）设直线PQ的斜率为k，则其方程为（）.由得. 记，则，，. 于是直线QG的斜率为，方程为. 由得——① 设，则和是方程①的解，故.由此得. 从而直线PG的斜率为. 所以，即是直角三角形. 得，. 所以的面积. 设，则由得，当且仅当时取等号. 因为在单调递减，所以当，即时，S取得最大值，最大值为. 因此，面积的最大值为.

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考点分析：

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（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设直线，的两个斜率存在，分别记为，，若，求点P的坐标；

（3）若经过点的直线l与动点P的轨迹有两个交点为T、Q，当时，求直线l的方程.

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