Question

如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB ，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB＝2，AD＝1，E，F 分别为AC，BP中点．

（1）求证：EF∥平面PCD；

（2）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer

(1)见证明；(2)

【解析】

(1)根据EF是△BDP的中位线可知EF∥DP，即可利用线线平行得出线面平行；(2) 取AB中点O,连接PO，DO，可证明∠PDO为DP与平面ABCD所成角，在Rt△DOP中求解即可.

(1)因为E为AC中点，所以DB与AC交于点E．

因为E，F分别为AC，BP中点，所以EF是△BDP的中位线，

所以EF∥DP．又DP⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD．

(2)取AB中点O,连接PO，DO

∵△PAB为正三角形，∴PO⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面PAB

∴PO⊥平面ABCD,∴DP在平面ABCD内的射影为DO，

∠PDO为DP与平面ABCD所成角，

在Rt△DOP中，sin∠PDO=,

∴直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为