Question

设a为实数，函数，

（1）若，求不等式的解集；

（2）是否存在实数a，使得函数在区间上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；

（3）写出函数在R上的零点个数（不必写出过程）．

Answer

（1）（2）不存在这样的实数,理由见解析（3）见解析

【解析】

（1）代入的值,通过讨论的范围,求出不等式的解集即可；

（2）通过讨论的范围,求出函数的单调区间,再求出函数的最值,得到关于的不等式组,解出并判断即可；

（3）通过讨论的范围,判断函数的零点个数即可

（1）当时,,

则当时,,解得或,故；

当时,,解集为,

综上,的解集为

（2）,显然,,

①当时,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,

因为函数在上既有最大值又有最小值,

所以,,

则,即,解得,

故不存在这样的实数；

②当时,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,

因为函数在上既有最大值又有最小值,

故,,

则,即,解得,

故不存在这样的实数；

③当时,则为上的递增函数,

故函数在上不存在最大值和最小值,

综上,不存在这样的实数

（3）当或时,函数的零点个数为1；

当或时,函数的零点个数为2；

当时,函数的零点个数为3