Question

已知函数

（1）请判断函数在和内的单调性，并用定义证明在的单调性；

（2）当时，恒成立， 求实数的取值范围.

Answer

（1）在内单调递减，在内单调递增，证明见解析；（2）

【解析】

（1）任取且，对进行计算化简，判断出正负，进行证明；（2）将问题转化为在时恒成立，根据（1）所得的单调性，得到的最小值，从而得到的范围.

（1）在内单调递减，在内单调递增

以下为证明：

任取且

.

因为，所以，，所以

因为，即

因此，函数在上是单调减函数；

（2）由在时恒成立，

得在时恒成立，

由（1）知，函数在为减函数

所以当时，取得最小值，

所以.

因此，实数的取值范围是.