Question

已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.

（1）若，证明：函数必有局部对称点；

（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；

（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据定义，由得到方程，然后根据，证明方程有解，从而证明结论；（2）问题转化为方程在区间上有解，设，

得到的值域，从而得到的范围，得到的范围；（3）将问题转化为在上有解，令，变为方程在区间内有解，从而得到关于的不等式组，解出的范围.

（1）由得，

代入

，

得到关于的方程，

其中，由于且，

所以恒成立，

所以函数必有局部对称点.

（2）在区间内有局部对称点

由，得，

所以问题转化为，方程在区间上有解，

于是

设，则，

而，在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以.

（3），

由于

所以

于是在上有解

令，则

所以方程变为在区间内有解，

需满足条件

即，所以得