Question

在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.

如图1                                   如图2

（1）证明：平面平面；

（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

(1)见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.

【解析】

（1）在题图1中，可证 ，在题图2中，平面.进而得到平面.从而证得平面平面；

（2）可证得平面. .则以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：在题图1中，因为，且为的中点.由平面几何知识，得.

又因为为的中点，所以

在题图2中，，，且，

所以平面，

所以平面.

又因为平面，

所以平面平面.

（2）【解析】
因为平面平面，平面平面，平面，.

所以平面.

又因为平面，

所以.

以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

在题图1中，设，则，，，.

则，，，.

所以，，.

设为平面的法向量，

则，即

令，则.所以.

设与平面所成的角为，

则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.