Question

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论的单调性；

（3）设，当时，对任意的，存在，使得，求实数 b的取值范围

Answer

（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由题意可得，据此确定切线的斜率，结合切点坐标确定切线方程即可；

(Ⅱ)由可得，据此分类讨论确定函数的单调性即可；

(Ⅲ)由题意可得，则原问题等价于，据此求解实数b的取值范围即可.

(Ⅰ)，

因为,且，

所以曲线在点处的切线方程为：.

(Ⅱ)令，所以，

当时,，

此时在上单调递减,在上单调递增；

当时,，

此时在上单调递增,在上单调递减.

(Ⅲ)当时,在上单调递减,在上单调递增，

所以对任意,有，

又已知存在，

使,所以，

即存在,使，

即，

即因为当，

所以,即实数取值范围是.

所以实数的取值范围是.