Question

已知函数.

（1）当时，求该函数的值域；

（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

(1)将变形为,再令,利用换元法转换为二次函数求值域;

(2)方法一:将不等式整理为对恒成立,再利用二次函数的性质分类讨论最值求解;方法二:将不等式变形为对恒成立,则求出的最大值即可得解.

(1),

令,则时,

此时,,

,,

所以时,函数的值域为;

(2)对于恒成立,

方法一:

即对恒成立,

即对恒成立,

设,,

则,

①当,即时,

所以;

②当,即时,

,

所以;

综上所述,.

方法二:

即对恒成立,

对恒成立,

设,,

在上单调递增,

,

.