Question

已知是定义在上的奇函数，且，若，时，都有.

（1）解关于的不等式；

（2）若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）或或

【解析】

(1)先利用定义法结合题设条件证明:函数在上是增函数,再结合其奇偶性解不等式即可;

(2)由(1)知在上的最大值为,则不等式可化为,设,再令即可求出答案.

(1)因为是定义在上的奇函数,

故任取,

则,

,,

故有,,

,即在上是增函数,

因为是定义在上的奇函数,且在上是增函数,

不等式可化为,

所以,解得;

(2)由(1)知在上是增函数,

所以在上的最大值为,

要使对任意,恒成立,

只要,

设,

因为对任意,恒成立,

所以

解得或或.