Question

已知椭圆的左右焦点分别为、，焦距为，过点作直线与椭圆相交于、两点，连接、，且的周长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

（1）求出、的值，可得出的值，进而可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由条件得出，代入韦达定理，消去与，可得出关于的方程，即可求出实数的值，进而得出所求直线的方程.

（1）设椭圆的焦距为，

焦距为，的周长为，，，，

解得，，椭圆的标准方程为：；

（2）设直线的方程为：，，.

联立得，消去得，

，，

，则，则，，

由韦达定理得，，.

将代入，得，

，整理得，解得：.

直线的方程为或.