Question

设函数

（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；

（2）设，若对任意，有，求的取值范围．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题（Ⅰ）函数y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点；方法：先利用零点的判定方法判断存在性，再利用区间内函数是单调的说明唯一性

（Ⅱ）先对任意，都有，说明最大值与最小值之差，然后在进行分类讨论

试题解析：（Ⅰ）设，当时,1分

，在区间内存在零点 2分

又设，，

即在区间内单调递增 2分

在区间内存在唯一的零点 1分

（Ⅱ）当时，1分

对任意，都有等价于在上的最大值与最小值之差,1分 据此分类讨论如下：

（1）、当，即时，，与题设矛盾； 1分

（2）、当，即时，恒成立； 1分

（3）当，即时，恒成立 1分

综上可得，，的取值范围为1分