Question

一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，（如图所示，坐标以已知条件为准），表示青蛙从点到点所经过的路程.

（1）若点为抛物线（）准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明.

（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出（不需证明）；

（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.

Answer

【解析】
(1)设，由于青蛙依次向右向上跳动，

所以，，由抛物线定义知：分

(2) 依题意，

随着的增大，点无限接近点分

横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近分

所以=分

(3)方法一：设点，由题意，的坐标满足如下递推关系：，且

其中分

∴，即，

∴是以为首项，为公差的等差数列，

∴，

所以当为偶数时，，于是，

又

∴当为奇数时，分

当为偶数时，

当为奇数时，

所以，当为偶数时，

当为奇数时，

所以，分

方法二：由题意知

其中

观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为，公比为的等比数列．相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列．下标为偶数的点也有此规律．并由数学归纳法可以证明．分

所以，当为偶数时，

当为奇数时，

当为偶数时，

当为奇数时，分

所以，分

【解析】

试题（1）直接借助题设求解即可获证；（2）运用题设条件和极限思想表示出来再求解即可；（3）运用题设中提供的信息分类进行求解．

试题解析：（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，

所以，，由抛物线定义知：．

（2）依题意，，，（）

随着的增大，点无限接近点，

横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近，

所以．

（3）方法一：设点，则题意，的坐标满足如下递推关系：

，且，（）

其中，

∴，即，

∴是以为首项，2为公差的等差数列，

∴，

所以当为偶数时，，于是，

又，

∴当为奇数时，，，

当为偶数时，

当为奇数时，

所以，当为偶数时，

当为奇数时，

所以，．

方法二：由题意知，，，，，，…

其中，，，，…

，，，…

观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为，公比为4的等比数列，相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列，下标为偶数的点也有此规律，并由数学归纳法可以证明．

所以，当为偶数时，

当为奇数时，，

当为偶数时，

当为奇数时，

所以，．