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棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一...

棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上,则正三棱锥的内切球半径为(   

A. B.

C. D.

 

D 【解析】 由边长为的正四面体可求得外接球的半径,接着求出正三棱锥的侧棱长,从而算出正三棱锥的表面积S及体积V,最后代入公式,可得内切球的半径r. 由题意,多面体的外接球即正四面体的外接球,且其外接球的直径为AE,易求得正四面体的高,外接球的半径为. 设正三棱锥的高为,因为,所以. 因为底面的边长为a,所以, 则正三棱锥的三条侧棱两两垂直. 易求得正三棱锥的表面积,体积. 设正三棱锥的内切球的半径为r,由,得. 故选:D
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