Question

如图，在各棱长均为4的直四棱柱中，，为棱上一点.

（1）证明：平面平面；

（2）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）要证面面垂直，可从线面垂直入手，即证平面，进而得到面面垂直；（2）先找到过A的一个垂直于面的一个平面，由点A向两个面的交线作垂线即可，

（1）证明：∵底面为菱形，∴.

在直四棱柱中，底面，∴.

∵，∴平面.

又平面，∴平面平面.

（2）【解析】
设与交于点，连接，

过作，为垂足，即为在平面内的正投影.

理由如下：

∵平面，∴，

又，，∴平面，

∴，又，∴平面.

∵，，

∴，由得，

过作，垂足为，由得.

∴ .