Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，E，F分别是，的中点，点O是和的交点.

（1）证明：平面；

（2）求四棱锥的体积.

Answer

（1）见解析（2）体积是1.

【解析】

（1）根据题意证出、，由线面垂直的判定定理即可证出.

（2）由（1）得平面，即，在中，可得，根据题意可得点B到平面的距离等于点D到平面的距离，再利用四棱锥的体积公式即可求解.

（1）因为底面是正方形，所以.

因为底面，所以.

又，所以平面.

因为E，F分别是，的中点，所以.

所以平面.

（2）如下图所示，连接，作，垂足为G.

由（1）得平面，所以.

又，所以平面.

因为，所以，.

由勾股定理，得，

以.

因为O是的中点，

所以点B到平面的距离等于点D到平面的距离.

即点B到平面的距离等于.

而，，，

则，

.

即四棱锥的体积是1.