Question

己知定义在上的函数的单增区间为，且图象过点.

（1）求函数的解析式；

（2）对任意的，存在常数使得成立，求整数的值.

Answer

（1）（2）或0.

【解析】

（1）根据单调区间求出，再根据二次函数的图象过解出即可求解.

（2）（法1）令，条件等价于对任意的，存在常数使得成立，只需，设，根据二次函数的图象与性质，讨论的取值范围，求出函数的最小值，即，根据函数的单调性即可的最大值，

（法2）令，根据题意条件等价于对任意的，存在常数使得成立，函数在上的最大值不小于，根据的单调性即可求出最大值为，从而只需条件等价于对任意的，，只需即可.

（1）由题知，解得，

因为二次函数的图象过点，所以，解得，

所以；

（2）（法1）令，则题目中条件等价于对任意的，

存在常数使得成立，

也就是等价于关于t的函数在上的最小值不小于.

下面求函数在上的最小值.

当，即时，；

当，即时，；

记函数在上的最小值为，

则，

于是原命题就等价于：存在常数，使得成立，

即等价于关于m的函数的最大值不小于即可，

因为函数在上是单调递减的，所以，

所以，解得，又，所以或0.

（法2）令，则题目中条件等价于对任意的，

存在常数使得成立，

也就是等价于关于m的函数在上的最大值不小于.

因为，所以函数在上单减，

因此，即，

则题目中条件等价于对任意的，，

即函数在上的最小值不小于.

又，，

所以，

解得，又，

所以或0.