Question

在下列命题中：①在中，，，，则解三角形只有唯一解的充要条件是：；②当时，；③在中，若，则中一定为钝角三角形；④扇形圆心角为锐角，周长为定值，则它面积最大时，一定有；⑤函数的单增区间为，其中真命题的序号为_____.

Answer

①②③⑤；

【解析】

对每一个命题逐一分析判断得解. ①，利用正弦定理分析判断；②，利用反三角函数的图象分析判断；③，利用反证法判断；④,利用基本不等式判断得解；⑤，利用复合函数的单调性分析求解.

①，由正弦定理得，因为三角形有唯一解，所以或，所以该命题正确；

②，画图得

当时，，所以该命题是真命题；

③假设△ABC是锐角三角形，,

所以,显然矛盾；假设△ABC是直角三角形，显然A,B不可能是直角，所以C是直角，此时，与已知矛盾，所以中一定为钝角三角形，所以该命题是真命题；

④,设扇形的半径为，扇形圆心角为锐角，弧长为,周长为定值，则它面积,当且仅当即时取最大值，但是，不是锐角，所以该命题不正确；

⑤，因为函数是一个减函数，所以函数的单增区间为的减区间，所以该命题是真命题.

故答案为：①②③⑤