Question

已知，动点M满足.

（1）求动点M的轨迹的方程；

（2）设A，B是上异于点P的两点，若的倾斜角互补，求证直线斜率为定值.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由题得所以点M的轨迹是一个以点为焦点的椭圆，即得解；（2）设直线方程代入椭圆方程，得，求出，的坐标，由此能证明直线的斜率为定值．

（1）由题得，

所以

所以点M的轨迹是一个以点为焦点的椭圆，

所以，

所以动点M的轨迹的方程为.

（2）设直线方程：得，代入，

得

设，，，．

点在椭圆上，

，，

又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，

可得，，

直线的斜率．

即直线的斜率为定值.