Question

给定整数()，设集合，记集合．

（1）若，求集合；

（2）若构成以为首项，()为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为；

（3）若构成以为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和．

Answer

（1）（2）见解析（3）

【解析】

（1）由新定义和集合的列举法，可得所求集合；

（2）运用等差数列为递增数列，以及性质，即可得到所求个数；

（3）由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论．

（1）因为，

当时，

∴．

(2) 因为构成以为首项，()为公差的等差数列，所以有()，以及()．

此时，集合中的元素有以下大小关系：

．

因此，集合中含有个元素．

(3)由题设，．

设集合，．

①先证中的元素个数为，即从集合中任取两个元素，它们的和互不相同．

不妨设，于是．

显然．

假设，可得，即．

因为，，所以，又，于是，等式不成立．

因此，．

同理可证．

②再证．

不妨设，于是．

显然，．

假设，可得，即，

因为，所以，又，于是，等式不成立．

因此，．

由①②，得，且．

此时，集合中的元素个数为．

集合中所有元素的和为．