Question

设集合表示具有下列性质的函数的集合：①的定义域为；②对任意，都有

（1）若函数，证明是奇函数；并当，，求，的值；

（2）设函数（a为常数）是奇函数，判断是否属于，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若，讨论函数的零点个数.

Answer

（1）见解析，，

（2），证明见解析

（3）或时，3个零点；或时，1个零点；时，5个零点.

【解析】

（1）利用赋值法和奇函数的定义证明函数是奇函数，由题得的方程组，解方程组即得解；（2）先求出a的值，再利用的定义证明；（3）令h(x)=t,则h(t)=2，再分类讨论数形结合分析得解.

（1）令得.

令，，所以函数是奇函数.

,

解上面关于的方程组得，.

（2）因为函数（a为常数）是奇函数，

所以.满足函数g(x)是奇函数.

设，所以，

因为，

所以.

（3）令.

令h(x)=t,则h(t)=2，

所以函数

当k=0时，，则，此时只有一个解，一个零点；

当时，只有一个，对应三个零点；

当时，，此时，

，

所以在，，三个t各对应一个零点，共三个零点；

当，，三个t各对应一个，一个，三个零点，共五个零点；

当时，h(t)=2只有一个解，，对应一个零点.

综合得或时，3个零点；或时，1个零点；时，5个零点.