Question

已知等差数列的前项和为，，，数列满足，，且的前项和为.

（1）求；

（2）求数列的通项公式及其前项和；

（3）记集合，若的子集个数为32，求实数的取值范围.

Answer

（1），（2）（3）

【解析】

（1）根据条件列关于首项与公差的方程组，再代入等差数列前n项和公式即可，（2）根据叠乘法可得，再根据错位相减法求和，（3）先确定中的元素个数，再化简不等式并分离变量，转化研究对应数列单调性，根据单调性确定结果.

（1）设数列的公差为，则，解得 ，所以.

（2）由题意得，

当时， ，

又也满足上式，故，

故 ①

②

① ②，得

故.

（3）由题意得，由（1）（2）知：，

令 .

则，，，，，，

因为.

所以当时，，.

因为集合的子集个数为32，所以中的元素个数为5，

所以的解的个数为5，

因为，

故.