Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求证：平面.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】

（1）欲证，只需证明即可；

（2）先证平面，再证平面平面；

（3）取中点，连接，证明，则平面.

（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.

∵底面为矩形，∴，∴；

（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，∴.

又，，、平面，平面，

∵平面，∴平面平面；

（Ⅲ）如图，取中点，连接.

∵分别为和的中点，∴，且.

∵四边形为矩形，且为的中点，∴，

∴，且，∴四边形为平行四边形，

∴，又平面，平面，∴平面.