Question

已知四棱锥的底面ABCD是菱形，且，是等边三角形.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若平面平面ABCD，求二面的余弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）取AB的中点O，连接OP，OD，BD，利用等比三角形的性质得到，利用有一个角是的菱形的几何性质，证得，由此证得平面，从而证得.

（II）证得，结合，以为原点，建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.

（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接OP，OD，BD

∵是等边三角形，∴

又∵四边形ABCD是菱形，

∴是等边三角形

∴

∵，PO，平面POD

∴平面POD

∵平面POD

∴

（Ⅱ）∵平面平面ABCD，平面平面，∴平面ABCD，∴

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

设

平面PAB的一个法向量为，，，

∴，

设平面PBC的一个法向量为，则

令，得，

∴

设二面角的平面角为，为钝角

∴