Question

三棱柱中，为的中点，点在侧棱上，平面

(1)    证明：是的中点；

(2)    设,四边形为边长为4正方形，四边形为矩形，且异面直线与所成的角为，求该三棱柱的体积.

Answer

(1)证明见解析；(2)32.

【解析】

（1）利用棱柱的性质以及相似三角形判断定理，证得，从而得到；连接分别交于，连，利用线面平行性质定理证得，从而得到；再证得，从而得到，结论得证.

（2）取的中点，连接，则或其补角为异面直线与所成的角，结合题目条件，设，分别求出，再利用余弦定理，即可建立方程求出，从而求出三棱柱的体积.

(1)证明：连接分别交于，连，

∵平面，平面，平面平面=，∴,

又∵在三棱柱侧面中，为的中点，

由可得，，所以，

故，，∴，

在平面中同理可证得，

故有是的中点.

(2)取的中点，连接，可知，

故或其补角为异面直线与所成的角，

设，则在中，可求，

则余弦定理可求：，解得：，

故.